424 / 460
Actual Problems in Machine Building. 2015. N 2
Materials Science
in Machine Building
____________________________________________________________________
424
6
3
1
6
6
3
3
1
1
5
3
6
5
5
3
3
6
6
4
3
5
4
4
3
3
5
5
4
2
3
4
4
2
2
3
3
1
3
2
1
1
3
3
2
2
Y X Y X Y X
Y X Y X Y X
Y X Y X Y X
Y X Y X Y X
Y X Y X Y X
M
. (3)
Тогда связывание реализуется цикле по элементам, в котором последовательно вычисляются
матрицы:
1
9,
8,
7,
6,
5,
4,
3,
2,
1,
: ,
:Φ,
1
1
1
:
CBN
C
e
e
e
e
e
e
e
e
e
M
M
M
M M
M M
M M
и интерполяционный полином (2).
Результаты и обсуждение
Рассмотрим, например, задачу теплопроводности в двумерной постановке.
Для
стационарных
режимов
решению
дифференциального
уравнения
теплопроводности с граничными условиями первого-третьего рода эквивалентно отыскание
минимума функционала
S
c
V
y
x
dS T yx h yx q V yx Q yx
y
K yx
x
K
2
,T
,T
d ,T 2
,T
,T
2
1
2
2
2
,
где
yx
,T
– функция, определяющая поле температур в двумерной области, К;
Q
–
внутренний тепловой источник или сток, Вт;
x
K
и
y
K
– коэффициенты теплопроводности
в направлении осей координат, Вт/(м
К);
q
– тепловой поток заданной интенсивности,
Вт/м
2
;
h
- коэффициент конвективного теплообмена, Вт/(м
2
К);
c
T
- температура
окружающей среды, К;
V
– объем тела, м
3
;
S
- площадь поверхности, м
2
;
x
и
y
–
текущие координаты.
Для моделирования композиционного материала, рассматривая функционал
для отдельно взятого конечного элемента, после замены искомой функции
интерполяционным полиномом (1), необходимо расширить данные элемента. В
частности, в массив (3) включаются дополнительные столбцы соответствующие:
значениям коэффициентов теплопроводности, условиям теплообмена на границах
элемента и в направлении нормали к лицевой поверхности, значениям мощности
теплового потока в узлах. При этом непрерывность функции во всей области
обеспечивается равенством интерполирующих функций на границе между
элементами. После указанной модификации, внутри цикла по элементам
вычисляются функционалы для каждого конечного элемента, находится суммарный
функционал: