Актуальные проблемы в машиностроении. 2016. №3

249 / 530

Актуальные проблемы в машиностроении. 2016. №3 Технологическое оборудование,
оснастка и инструменты
____________________________________________________________________
249
или
2
2
0
2 2δ ω 0
d x dx x
dt dt
   ,
где 0
δ
2
b
m
 - коэффициент затухания; 2
0 ω
k
m
 - квадрат частоты собственных колебаний си-
стемы без потерь энергии.
Характеристическое уравнение свободных колебаний и его решение известны:
2 2
0 2δ ω 0 p p   ; 2 2
0 α α ω p j     .
Окончательное решение дифференциального уравнения будет определяться извест-
ным выражением свободного затухающего процесса
  δ
1 e cos ω φt
m x A t 
  ,
где 2 2
1 0 ω ω δ  - угловая частота затухающих колебаний системы с потерями энергии; m A
- амплитуда колебаний в момент 0 t  ; φ - начальная фаза колебаний.
Имея экспериментальную кривую затухающего процесса, можно определить парамет-
ры 1 ω , δ и, следовательно 0 b . Найдя период колебаний T , определим частоту 1
2π ω
T
 . Че-
рез отношение двух последовательных амплитуд отстоящих друг от друга на величину пери-
ода определится декремент затухания, который связан с коэффициентом затухания соотно-
шением δ
1
e T k
k
A
А 
   . Выражая коэффициент затухания получим
1 δ ln
Т
  . Также пола-
гая, что коэффициент затухания 0
δ
2
b
m
 , то коэффициент вязкого трения упругих связей
определится известным выражением 0
2 lnm b
Т
  .
При качественной осциллограмме огибающей свободного затухающего процесса точ-
ность расчета достаточно высока и погрешность вычислений не превышает 5%.
Далее при питании катушки переменным током (рис. 1) в режиме вынужденных коле-
баний механической системы с помощью регистратора перемещений устанавливается соот-
ветствующая механическим потерям энергии амплитуда колебаний m A .
Потери в механической системе составляют
0 тр 2 b f P P P  ,
где тр f P - механические потери мощности от действия силы трения скольжения; 0 b P - меха-
нические потери мощности, вызванные вязким трением.
Мощность потерь, вызванная сухим и вязким трением для случая периодического
процесса, рассчитывается по выражениям:
 
тр тр
0
1 sgn ( )
T
f P f v v t dt
T
  ,  
0
2
0
0
1 T
b P b v t dt
T
  ,
где ( ) v t - скорость механических колебаний.
С учетом найденных значений трения скольжения, вязкого трения в упругих связях и
соответствующих этим значениям амплитуды колебаний с помощью разработанной струк-
турной схемы в среде Matlab Simulink представленной на рис. 2 выполняется окончательный
расчет полной мощности потерь в механической системе или ее отдельных составляющих.