73 / 460
Актуальные проблемы в машиностроении. 2015. №2
Инновационные технологии
в машиностроении
____________________________________________________________________
73
Учитывать сложную геометрическую форму деталей ударных узлов, имеющих
криволинейные образующие боковой поверхности, различные отверстия или полости
позволяет волновое дифференциальное уравнение гиперболического типа с частными
производными второго порядка
0
1
2
,
2
,
2
2
,
2
2
t
u
x
u
dx
dS
S
a
x
u
a
tx
tx
x
x
tx
,
(2)
где
S
(
x
)
– функция площади поперечного сечения стержня.
Методика вывода уравнения (2) изложена Кошляковым Н.С., Мясниковым А.А. Это же
уравнение рекомендует для исследования продольных колебаний стержней переменного
поперечного сечения Пановко Г.Я.
Однако при продольных колебаниях стержень еще испытывает поперечные
деформации, что приводит к неоднородному распределению напряжений по поперечному
сечению стержня. Дифференциальное уравнение с поправкой Релея-Похгаммера-Кри для
рассмотрения стержней переменного поперечного сечения, позволяющее учесть большее
число механических параметров и особенностей геометрии стержней, чем уравнения (1) и
(2), записано Кошляковым Н.С., Лявом А. и Мясниковым А.А.
0
), (
2
)(
2
2
), (
)(
), (
)(
tx
u
J
tx
t
u
S
t
x
u
SE
x
tx
x
tx
x
tx
x
,
(3)
где
– коэффициента Пуассона;
)(
x
J
– полярный момент инерции сечения.
С практической точки зрения при проведении инженерных расчетов ударных систем
технологического назначения, в которых деформации остаются в пределах упругости, в виду
относительной малости третьим слагаемым уравнения (3) можно пренебречь.
Решить задачу о формировании и распространении импульсов упругой деформации в
соударяющихся стержнях позволяет так же достаточно точно и полно графоаналитический
метод, который сводится к рассмотрению прохождения ударных импульсов через стержень с
переменным поперечным сечением, представляющий собой цилиндрическое тело, состоящее
из нескольких ступеней. На основании этого метода разработан численный алгоритм [5]
нахождения и анализа ударного импульса, генерируемого бойками сложной геометрической
формы, а именно представляющими собой тело, образованное вращением нескольких
различных участков каких-либо плоских кривых (рис. 2). Последовательность алгоритма
заключается в следующем.
Боёк сложной формы (рис. 2) разбивается на диски сравнительно малой толщины, т.е.
представляется в виде ступенчатого цилиндрического. Количество ступеней
st
, на которые
разбивается боёк, выбирается из условия сохранения качественных свойств исходного бойка.
Диаметры
d
j
, площади поперечных сечений
S
j
и длина ступеней
1
l
вычисляются из условия
равенства объемов исходного и ступенчатого бойков
j
j
x
x
x
j
dx y
l
d
1
1
1 2
;
4
2
j
j
d
S
;
st
L l
1
,
;
1
st
j
(4)
где
n
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
x
x x
x x f
y
1
)1 (
)1 (
2
1
– функция, описывающую образующую
боковой поверхности сложного бойка;
i
x
– координаты переходных сечений перехода
ступеней;
L
– общая длина бойка.